Introduction

La moyenne est souvent définie par sa formule, valeur mathématique et non physique. Plusieurs ouvrages de statistique descriptive parlent de différents types de moyenne sans en éclairer les contextes d’utilisation. C’est ainsi que la moyenne arithmétique prend le dessus et est souvent utilisée, même à tort. Si pour beaucoup, calculer la moyenne, c’est calculer la moyenne arithmétique, nous allons dans cet article éclairer son utilisation, et plus particulièrement les conditions d’utilisation de la moyenne harmonique.

Dans le présent article, nous exposerons uniquement la moyenne harmonique et ses conditions d’utilisation, considérant qu’elle est différente de la moyenne arithmétique et est utilisée dans des conditions particulières. Les démarches mathématiques nous permettront de démontrer les conditions de son utilisation et de mettre en évidence sa différence avec la moyenne arithmétique.
Le présent article est organisé autour des trois principaux points. Le premier donne les préliminaires, le deuxième introduit la moyenne harmonique et le troisième présente l’usage de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique.

Préliminaires

Notion de moyenne

La moyenne est la caractéristique de tendance centrale la plus réputée et n’est définie que pour des variables statistiques quantitatives. Plusieurs ouvrages la présentent comme une valeur mathématique et non physique, ils la définissent par sa formule :

La moyenne arithmétique est définie comme étant la somme des valeurs observées divisée par le nombre d’observations
La moyenne harmonique est définie comme étant l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses des observations
La moyenne géométrique est définie comme étant la racine nième des produits des n observations
La moyenne quadratique comme étant la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des observations.

Pour Wikipédia : « La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d’un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu’aurait chacun des membres de l’ensemble s’ils étaient tous identiques sans changer la dimension globale de l’ensemble ». Et le site www.techno-sciences.net/onglet=glossaires éclaire la définition en ces termes :
« La moyenne est la valeur unique que devraient avoir tous les individus d’une population (ou d’un échantillon) pour que leur total soit inchangé ».

Ainsi si le total formé par les individus d’une population est la somme de leurs valeurs, la moyenne est alors la moyenne arithmétique ; ce qui est souvent le cas. Si nous introduisons la notion de valeur physique que représentent les valeurs observées, le total ne sera nécessairement pas la somme de ces valeurs. C’est le cas des vitesses utilisées pour parcourir un trajet dans deux sens, aller et retour :

Illustration

Soit un engin parcourant un trajet E avec la vitesse V1 = 40 Km/h en aller et au retour avec la vitesse V2 = 60Km/h. Sa vitesse moyenne ne sera pas la moyenne arithmétique des deux vitessesV1 et V2. Selon la valeur physique de la vitesse, la vitesse moyenne sera la distance totale parcourue divisée par le temps de parcours et non la moyenne arithmétique des deux vitesses comme suit :

(40+60)/2=50Km/h
En effet,
La distance totale sera :E+E=2E c.-à-d. aller + retour
Les temps T_1=E/40 pour l’aller et T_2=E/60 pour le retour ; la formule de l’espace étant :
E=V_1*T_1
Le temps total sera : T=T_1+T_2=E/40+E/60=5E/120
La vitesse moyenne sera : V=2E/(5E/120)=240/5=48Km/h
Nous aurons comme vitesse moyenne 48Km/h et non 50Km/h qu’on aurait par la moyenne arithmétique des vitesses.

Moyenne harmonique

Définition

La moyenne harmonique est couramment définie comme étant l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses, sa formule se présente comme suit :
H=n/(∑_(i=1)^n▒1/x_i ) (1)

H=n/(∑_(i=1)^k▒n_i/x_i )

Moyenne harmonique et vitesse

Plusieurs auteurs montrent que le calcul de la moyenne harmonique convient pour les vitesses ; Dr Dakhmouche, Freddy Ntunu, Yves Tillé, Lucien Leboucher & Marie-José Voisin, www.wikipedia.org, pour ne citer que ceux-ci ; donnent les exemples des vitesses réalisées dans un trajet en aller et au retour. C’est ainsi que nous partons de la vitesse moyenne pour vérifier l’affirmation.
Soient vila vitesse parcourue au temps ti dans un espace ei, on a :
e_i=v_i t_i (2)
L’espace total E et le temps total T parcouru par l’engin seront : E=∑_i^n▒e_i et T=∑_i^n▒t_i
Ceci donne conformément à la relation (2) :E=∑_i^n▒e_i
La vitesse moyenne selon les notions de physique sera :
v=E/T=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒t_i ) (3)
Posons que ei = ej= eⱯi et j (c’est-à-dire que les différentes fractions de distances parcourues aux différentes vitesses vi et temps ti sont constantes) ;
Nous aurons :
e=v_i t_i ; ∀i
Et la relation (3) devient :
v=E/T=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒t_i )=(∑_i^n▒e)/(∑_i^n▒t_i )
Or selon (2) nous avons : t_i=e_i/v_i ; ce qui entraine que la vitesse moyenne devient :
v=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒e_i/v_i )
Or ei = e ; ce qui donne : v=(∑_i^n▒e)/(∑_i^n▒e/v_i )=ne/(e∑_i^n▒1/v_i )=n/(∑_i^n▒1/v_i )
Donc la vitesse moyenne parcourue en différents temps dans des fractions d’espaces égaux sera :
v=n/(∑_i^n▒1/v_i )=1/(1/n ∑_i^n▒1/v_i )
C’est la moyenne harmonique de différentes vitesses vi parcourues dans n fractions d’espace e. Nous la noterons vh dans le cadre de cet article.

Moyenne harmonique pondérée

Si pour certaines fractions d’espace i et j, nous avons vi = vj (c’est-à-dire à chaque vi correspond une pondération ni, nombre de fois que la vitesse vi est observée); nous aurons la moyenne harmonique pondérée :
v_h=n/(∑_i^k▒n_i/v_i )=1/(1/n ∑_i^k▒n_i/v_i )
Nous pouvons alors dire que la vitesse moyenne est calculée en recourant à la moyenne harmonique si et seulement si les fractions d’espaces parcourues avec différentes vitesses sont constantes.
Ceci nous conduit à la généralisation suivante :

Généralisation

Si pour une variable xi, on a : x_i=c/y_i ; c étant une constante et yi une variable dépendante de xi, la moyenne qui convient pour la variable xi est la moyenne harmonique.
Ou si c = xi*yi, alors la moyenne de xi sera la moyenne harmonique. D’où la condition nécessaire ci-après.
Condition nécessaire
Si x_i=c/y_i ou c = xi*yi Ɐ i alors pour xi c’est la moyenne harmonique qui est appropriée.
Cette condition nécessaire vient expliciter la règle des taux moyens de la forme x par d qui dit : « La moyenne harmonique est utilisée lorsque les taux sont exprimés sous la forme x par d et x est constante, ou lorsqu’ils sont exprimés sous la forme d par x et d est constante » (G.L. Thirkettle, Business statistics and statistical method, Macdonald and Evans, London 1981 ; page 104

Usage de la moyenne harmonique (écart avec la moyenne arithmétique)

Vérification de la condition nécessaire

La moyenne d’unités vendues par recharge électronique d’unités de communication et celles vendues par recharge des cartes prépayées pour faire un même chiffre d‘affaire, étant donné que les prix unitaires des cartes diffèrent selon le type de recharge, sera de combien ?
Soient Q1, la quantité d’unités vendues par recharge électronique au prix unitaire P1 ;
Q2, la quantité d’unités vendues par carte électronique au prix unitaire P2 ;
CA, le chiffre d’affaire à réaliser par vente de chaque type d’unités.
Alors CA = Q1*P1 = Q2*P2 ; la condition nécessaire est donc vérifiée.
La quantité moyenne vendue sera la moyenne harmonique Q_h=2/(1/Q_1 + 1/Q_2 ) et non la moyenne arithmétique Q_A= (Q_1+Q_2)/2
Si Q1 = 120 et Q2 = 100 ; on aura :
Q_h= 2/(1/120+ 1/100)=109,09 et Q_a= (120+100)/2=110
La différence des deux moyennes s’explique par le fait que la moyenne harmonique tient compte de la relation de dépendance des quantités et prix par rapport au Chiffre d’affaire tandis que la moyenne arithmétique ne tient compte que des quantités sans se soucier de cette relation de dépendance, qui pourtant est réelle et incontournable.
Un consommateur décide de dépenser le même montant par mois pour la consommation d’unités pour les trois réseaux de communication (Vodacom, Orange et Airtel). Chaque réseau a son prix de vente. Calculer la quantité moyenne d’unités à consommer par réseau.
Comme la dépense mensuelle par réseau est D = Qi*PiⱯ i = 1, 2, 3 ; la condition nécessaire est vérifiée, alors la quantité moyenne sera harmonique :
Q_h=3/(1/Q_1 +1/Q_2 +1/Q_3 )
Un spéculateur a consacré pendant 4 années la même somme S à l’achat de lingots de cuivre aux prix respectifs : 5400 ; 5500 ; 5800 et 6400 $us d le kg. Le prix moyen d’achat du kilogramme de cuivre par le spéculateur n’est pas la moyenne arithmétique.
En effet, la dépense annuelle effectuée par le spéculateur est :
S=5400q_1=5500q_2=5800q_3=6400q_4 ; (1)
Les qi représentent les quantités de lingots achetés par année chacune au prix pi correspondant.
Conformément à la condition 1, le prix moyen de lingot acheté par an sera la moyenne harmonique :
En effet, le total d’achat pour les quatre années est : 4S
Conformément à la relation (1) on a : p_i=S/q_i et q_i=S/p_i
La quantité totale achetée est :
q_1+q_2+q_3+q_4=S/5400+S/5500+S/5800+S/6400
Le prix moyen sera :
p=4S/(S/5400+S/5500+S/5800+S/6400)
p=4/(1/5400+1/5500+1/5800+1/6400)=5750,60
C’est la moyenne harmonique et non arithmétique qui exprime le vrai sens de la moyenne dans ce cas, la condition nécessaire S=pi*qi étant vérifiée.
Une entreprise de transport possède 10 camions qui font la rotation entre un endroit A et un endroit B. Au cours d’une de ces rotations le trajet AB (distance D) a été couvert par ces véhicules aux vitesses moyennes suivantes :
Vitesse Moyenne (Km/h) : 40 60 70
Nombre de camions : 3 5 2
N° 1 2 3 TOTAL
Vitesse Moy (Km/h) xi 40 60 70
Nombre de camions ni 3 5 2 10
ni/ xi 3⁄40 5⁄60 2⁄70 0,1869

La moyenne sera ( 10)⁄(0,1869)=53,5 km/h
Observation :
Jusque-là, nous ne considérons que les cas où le produit des deux variables dépendantes est constant.

Cas du produit des deux variables dépendantes non constant (variable) : condition nécessaire non vérifiée

Considérons les différents espaces ei parcourus aux vitesses vi par un engin, la vitesse moyenne v sera :
v=E/t=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒t_i )=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒e_i/v_i )
Ici, nous avons ei ≠ ej pour certain i et j,
Dans ce cas, essayons de calculer la moyenne des espaces, qui est la valeur unique que prendraient toutes les fractions d’espaces de sorte que l’espace total soit inchangé.
Nous aurons :
e=1/n ∑_(i=1)^n▒e_i (1*)
Ce qui entraine que Ɐ i, on a : t_i=e/v_i ou v_i=e/t_i ; avec e l’espace moyen. Ceci se ramène à la condition nécessaire pour l’application de la moyenne harmonique.
Donc nous aurons :
v=n/(∑_i^n▒1/v_i )=1/(1/n ∑_i^n▒1/v_i )
Et pour la moyenne harmonique pondérée (plusieurs vitesses vi observées dans des fractions d’espace ei différentes) :
v=n/(∑_i^k▒n_i/v_i )
Ce raisonnement n’est pas correct dans ce sens que la moyenne arithmétique e des différentes fractions d’espaces ei ne tient pas compte des vitesses vi et des temps ti y relatifs.
e=1/n ∑_i^n▒e_i =1/n ∑_i^n▒v_i t_i

Illustrations chiffrées

Un cycliste parcourt 4 étapes de 100km. Les vitesses respectives pour ces étapes sont de 10km/h, 30 km/h, 40 km/h, 20 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne?
Un raisonnement simple nous dit qu’il a parcouru la première étape en 10 h, la deuxième en 3h20 la troisième en 2h30 et la quatrième en 5h.
Il a donc parcouru le total des 400km en 20h50 (20,8334h)
La vitesse moyenne sera : v=400/(20,833)=19,2km/h
Application de la moyenne harmonique
Vérification de la condition nécessaire e=100=v_i t_i
La moyenne sera alors harmonique : v_h=4/(1/10+1/30+1/40+1/20)=4/(25/120)=19,2km/h
Un cycliste parcourt 4 étapes de 100km, 90km, 150km et 60km avec les vitesses respectives de 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h et 20 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne ?
Le raisonnement en physique donnera : v=(∑_i^n▒e_i )/(∑_i^n▒t_i )
Les ti étant respectivement : 10h, 3h, 3h45 et 3h.
Et le temps total et l’espace total étant : 19,75h et 400Km,
La vitesse moyenne sera : v_r=400/(19,75)=20,25km/h
Application de la moyenne harmonique :
Vérification de la condition nécessaire e = vi*ti ; on a 100km ≠ 90km ; donc la condition nécessaire n’est pas respectée.
Se référant à la relation (1*), les espaces ei sont remplacés par la moyenne e
La moyenne harmonique donnera : v_h=4/(1/10+1/30+1/40+1/20)=4/(25/120)=19,2km/h
Il est évident que la moyenne harmonique vh est différente de la moyenne réelle vr.
Vérification des deux moyennes par rapport à la définition :
Sachant queE = v*T (v la vitesse moyenne et T le temps total : 19,75h), on aura :
E = vr*T = 20,25*19,75 = 400 ; la moyenne réelle vr vérifie la définition
E = vh*T = 19,2*19,75 = 379 ; la moyenne harmonique vh ne vérifie pas la définition (379 ≠ 400), elle n’est donc pas appropriée dans ce cas

Critique par rapport à la moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique pour les illustrations a) et b) donne 25km/h. Cette moyenne n’est pas appropriée dans ce sens que le total au sens physique E = v*T ne sera pas respecté (25*19,75=493,75 qui est différent de 400, le vrai total). En plus le total arithmétique des vitesses n’a aucun sens.
Quatre facultés de l’université cotisent chacune 100$ pour soutenir la journée porte ouverte de l’université. Les cotisations individuelles des Enseignants par faculté sont respectivement de 5$, 10$, 4$ et 12,5$. Calculez la cotisation moyenne par Enseignant.
Vérification de la condition nécessaire : 100 = 5N1 = 10N2 = 4N3 = 12,5N4 ; les Ni représentent les nombres d’enseignants par faculté et ci les cotisations par Enseignants.
La condition nécessaire étant vérifiée, c’est la moyenne harmonique qui convient :
H=4/(1/5+1/10+1/4+1/(12,5))=6,35$
Donc tous les enseignants mis en ensemble cotiseraient chacun 6,35$
Quatre facultés de l’université cotisent respectivement 70$, 90$, 140$ et 100$ pour soutenir la journée porte ouverte de l’université. Les cotisations individuelles des Enseignants par faculté sont respectivement de5$, 10$, 4$ et 12,5$. Calculez la cotisation moyenne par Enseignant.
Vérification de la condition nécessaire : (70=5N1) ≠ (90=10N2) ≠ (140=4N3) ≠ (100=12,5N4); donc la condition nécessaire n’est pas respectée ;
S’il faut accepter la relation (1*), la moyenne harmonique sera :
C_h=4/(1/5+1/10+1/4+1/(12,5))=6,35$
La moyenne réelle est par contre : C_r=(Somme des cotisations par faculté)/(Nombre 〖 total d〗^’ Enseignant)=S/N
S=70+90+140+100=400
N=14+9+35+8=66
C_r=400/66=6,06
Donc, indépendamment des facultés, tous les Enseignants mis ensemble, chacun cotiserait de façon équitable 6,06$.
Vérification des deux moyennes par rapport à la définition :
Sachant que S = c*N (c la cotisation moyenne par Enseignant et N le nombre total d’Enseignants : 66), on aura :
S = ch*N = 6,35 * 66 = 419 ; la moyenne harmonique ch ne vérifie pas la définition (419 ≠ 400), elle n’est donc pas appropriée dans ce cas.
S = cr*N = 6,06 * 66 = 400; la moyenne réelle cr vérifie la définition.
Critique par rapport à la moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique pour les illustrations c) et d) donne 7,875$. Cette moyenne n’est pas appropriée par ce que le total au sens physique S = c*N= 7,875*66=519,75 est différent de 400, le vrai total.
Observation : Dans le cas des variables dépendantes xi et yi tel que xi=ci/yi, la moyenne de xi sera calculée par la formule :
x_m=(∑_i^n▒c_i )/(∑_i^n▒y_i )=(∑_i^n▒c_i )/(∑_i^n▒c_i/x_i )

Conclusion

Appuyant la définition du site www.techno-sciences.net/onglet=glossaires, selon laquelle « La moyenne est la valeur unique que devraient avoir tous les individus d’une population (ou d’un échantillon) pour que leur total soit inchangé », nous pouvons retenir que le calcul de la moyenne harmonique xh :

tient compte du sens physique du total C=nc=x_h ∑_i^n▒y_i , qui n’est pas la somme, donc elle est différente de la moyenne arithmétique n’est possible que si la condition nécessaire suivante est respectée
Si x_i=c/y_i ou c = xi*yi Ɐ i alors pour xi, c’est la moyenne harmonique qui est appropriée.
Convient effectivement aux vitesses, mais pour autant que les fractions d’espaces parcourus aux différentes vitesses soient identiques.

La moyenne harmonique peut ainsi être définie comme étant la valeur unique que prendraient tous les individus d’une population pour une variable dépendante pour que son produit par le total de la somme de la seconde variable soit égal au produit du nombre d’individus observés et des deux valeurs d’un individu de cette population.
En effet, selon la condition nécessaire : c = x1*y1 = x2*y2 = x3*y3=… =xi*yi= …= xn*yn
Nous avons nc =nx1*y1 = nx2*y2 = nx3*y3 = …= nxi*yi= … = nxn*yn=x_h ∑_i^n▒y_i

Bibliographie

1. Dakhmouche Meghlaoui (Dr), Introduction à la statistique descriptive, Année universitaire 2010/2011
2. http://histoiredechiffres.free.fr/curiosites/moyennes.htm, consulté le 15/05/2018 à 14h30
3. http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/vitesse.pdf
4. http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Moyenne/MoyIntro.htm, consulté le 26/05/2018 à 14h30
5. http://www.educatim.fr/tq/co/Module_TQ_web/co/moyenne_harmonique.html, consulté le 26/05/2018 à 16h15
6. https://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne_harmonique, consulté le 10/01/2018
7. https://www.ilemaths.net/sujet-moyenne-harmonique-517394.html, consulté le 25/05/2018 à 14h 00
8. https://xavier.hubaut.info/coursmath/sta/moyenne.htm, consulté le 26/05/2018 à 16h30
9. Leboucher, L. & Voisin, M.-J. (2011), Introduction à la statistique descriptive, Cépaduès-édition, Toulouse.
10. Ntunu Mbumba Ngoma, Fr. (2013), Comprendre la statistique descriptive en sciences de gestion, Galimage, Kinshasa.
11. Thirkettle, G.L. (1981), Business statistics and statistical method, Macdonald and Evans, London
12. Tillé, Y., Résumé du cours de statistique descriptive, 15 décembre 2010
13. www.techno-sciences.net/onglet=glossaires, consulté le 20 novembre 2017 à 15h.