Introduction

La question de la surface remonte dans la nuit de temps. Sa compréhension, prétendument osée chez bien des auteurs, tant dans la géométrie euclidienne, non euclidienne que différentielle, reste historiquement immanente et hermétique à toute systématisation universelle. Pour ainsi dire, la définition de la surface reste tributaire du domaine de la géométrie considérée.

Loin de nous, dans cet article, l’intention de faire un tel inventaire, car pareille préoccupation, nous ne le dirons jamais assez, exigerait qu’il y ait survol, lequel s’avère si pas impossible, néanmoins hésitant, partial et partiel, de par notre finitude et la diversité de l’héritage géométrique [Renard (2014) p.1]. Ceci précisé, notre entreprise sera modeste. Nous avons choisi de travailler en géométrie différentielle, mais en focalisant notre réflexion, tant que faire se peut, sur la détermination de la métrique de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes. Telle est la passionnante problématique de ce travail de recherche.

En effet, il y a lieu de faire remarquer qu’un aspect de ce thème a été abordé dans un mémoire de licence dirigé par le Docteur J.P. Mukeba Kanyinda, sous notre assistance à l’ISP/Mbujimayi. En effet, la droite choisie par l’étudiant Kamalenga Ngoyi comme axe l’a conduit à présenter l’équation implicite de la surface de révolution engendrée par cette courbe. Néanmoins, la paramétrisation de cette

équation s’est illustrée si pas impossible, mais difficile, malaisée. (cf. Kamalenga 2017, pp 22-23)

De ce fait, certains points suggérés pour l’étude complète d’une surface ne sont pas traités dans cette monographie. C’est le cas de la présentation des équations vectorielles et paramétriques, condition pour déterminer les différentes formes quadratiques fondamentales, la courbure moyenne et son rayon, ainsi que les lignes géodésiques d’une surface.

Usant de la méthode analytico-déductive, hormis l’introduction et la conclusion, cet article se subdivise en trois grandes sections, inégalement structurées. La première se veut une présentation rapide des différentes représentations d’une surface qui aidera nos lecteurs à saisir immédiatement la portée de la deuxième, pivot même de cette analyse. Elle se propose en effet, à partir de l’équation cartésienne du folium de Descartes et celle d’une droite du plan considérée comme axe, pour en déduire l’équation de la surface de révolution de cette courbe engendrée par son mouvement. De surcroît, après sa paramétrisation, nous nous sommes évertué à présenter sa première forme quadratique fondamentale, troisième section et point ultime de cet article. Tout bien considéré, cette étude présente quelques résultats dont les plus intéressants sont : l’équation implicite de cette surface et sa paramétrisation, l’équation de son plan tangent et celle de la normale en un point, les équations de ses différentes méridiennes, la première forme quadratique fondamentale ou la métrique de cette surface.

1. Différentes représentations d’une surface

En géométrie différentielle, une surface peut être définie par plusieurs types d’équations ou représentations. Nous reprenons ici quelques-unes:

1.1. Equations paramétriques [Bekkar (1992), p. 244]

D’entrée en jeu, d’aucuns le savent, ℝ????est un espace vectoriel de dimension 2. A cet effet, considérons un point mobile ????(????,????,????) d’une surface dont les cordonnées sont toutes des fonctions continues à deux variables????????????????. Ces variables étant des paramètres, les équations paramétriques d’une surface sont données par les relations suivantes :

\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= f_1(u,v) \\
y &= f_2(u,v) \\
z &= f_3(u,v) \\
\end{aligned}
\right.
\]

Toutefois, comme x, y et z sont des fonctions de u et v continues, elles sont par voie de conséquence dérivables et on peut écrire:

\[ x_u = \frac{\partial f_1}{\partial u} \, \text{(Dérivée première de } f_1 \text{ par rapport à } u)\]

\[ x_{uu} = \frac{{\partial^2 f_1}}{{\partial u^2}} \, \text{(Dérivée seconde de } f_1 \text{ par rapport à } u)\]

\[ x_v = \frac{{\partial f_1}}{{\partial v}} \, \text{(Dérivée première de } f_1 \text{ par rapport à } v)\]

\[ x_{uv} = x_{vu} =\frac{{\partial^2 f_1}}{{\partial u}{\partial v}} \, \text{(Dérivée en chaine de} f \text{ par rapport à } u) \text{ puis par rapport à } v\]

De façon analogue, on définit \( y_u,\quad y_v,\quad y_{uv} \)…

1.2. Equation vectorielle [Tshikuna, (2009)]

Partant de la représentation paramétrique d’une surface vue au point 2.1, nous pouvons considérer une fonction vectorielle
\( \vec{r}(u,v) \) telle que:
\[ \vec{r}(u,v) = f_1(u,v) \vec{e}_1 + f_2(u,v) \vec{e}_2 + f_3(u,v) \vec{e}_3 = \Sigma f_i(u,v) \vec{e}_i \]
\( \vec{r}(u,v) = 0 \) est l’équation vectorielle d’une surface.

1.3. Equation cartésienne [Schlichtkrull, (2011) p. 12]

L’équation cartésienne d’une surface peut se présenter soit sous la forme explicite, soit sous la forme implicite. Nous référant à la forme paramétrique, si \( x = u, \) \( y = v \) et \( z = f(x,y), \) nous dirons simplement que la surface admet \( z = f(x,y) \) comme équation explicite et sous sa forme implicite, elle pourra s’écrire : \( f(x,y,z) = 0, \) mieux encore \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : f(x,y,z) = 0\}. \)

Qui plus est, il importe de le remarquer. Sur une surface, si deux tangentes distinctes se coupent en un point \( m(x,y,z), \) alors elles engendrent un plan tangent à la surface au point \( m \) dont l’équation est donnée dans les lignes qui suivent.

1.4. Equation du plan tangent [Schlichtkrull, (2011) p.24]

Selon que les équations données de la surface sont paramétriques, cartésiennes, implicite ou explicite, on a successivement les formes suivantes d’équation du plan tangent à une surface au point \( m_0(x_0, y_0, z_0) \) :

\[
\begin{align}
1) \quad & \begin{vmatrix}
x – x_0 & y – y_0 & z – z_0 \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v \\
\end{vmatrix} = 0, \text{ si les équations sont paramétriques.}
\end{align}
\]

\[ 2) \, (x – x_0) \frac{\partial f}{\partial x_0} + (y – y_0) \frac{\partial f}{\partial y_0} + (z – z_0) \frac{\partial f}{\partial z_0} = 0, \text{ si l’équation est implicite cartésienne.} \]

\[
3) \, (x – x_0) \frac{\partial f}{\partial x_0} + (y – y_0) \frac{\partial f}{\partial y_0} = (z – z_0), \text{ si l’équation est cartésienne explicite.}
\]

Bien plus, en un point d’une surface où un plan lui est tangent, on appelle normale, la perpendiculaire au plan tangent passant par le point de contact. Son équation est donnée par:

\[ \frac{x – x_0}{\frac{\partial f}{\partial x_0}} = \frac{y – y_0}{\frac{\partial f}{\partial y_0}} = \frac{z – z_0}{\frac{\partial f}{\partial z_0}} \]

Par ailleurs, faut-il le préciser. Il existe des lignes d’intersection d’une surface avec les axes des coordonnées qui décrivent les méridiennes de cette surface. Nous allons à présent montrer comment établir leurs équations respectives.

1.5. Courbes remarquables sur une surface [Tshikuna, (2009)]

1.5.1. Méridienne principale

On suppose ici que la surface soit coupée par le plan \(XOZ\), il s’agit d’une méridienne principale. Pour trouver son équation, on pose \(y = 0\).

1.5.2. Méridienne secondaire

On suppose ici que la surface soit coupée par le plan \( YOZ \), il s’agit d’une méridienne secondaire. Pour déterminer son équation, on pose \( z = 0 \).

1.5.3. Trace dans le plan de l’équateur

Le plan déterminé par \(XOY\) est le plan de l’équateur. Si la surface est coupée par ce plan, il s’agit de la trace ou de la section plane dans le plan de l’équateur. Pour déterminer son équation, on pose \(z = 0\). Mais, qu’en est-il de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes?

2. Equation de la surface de révolution

2.1. Folium de Descartes [Renard, (2014) p.9 et http://wikipedia.]

Le folium de Descartes est une courbe du troisième degré à point double qui a été envisagée pour la première fois par Descartes en 1638. Cette cubique a pour équation cartésienne :
\[ x^3 + y^3 – 3axy = 0 \, \text{ (avec } a > 0\text{)} \]

Toutefois, en posant \( y = tx \), et partant de son équation cartésienne, on trouve les équations paramétriques du folium de Descartes suivantes :

\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= \frac{3at}{(1 + t^3)} \\
y &= \frac{3at^2}{(1 + t^3)} \\
\end{aligned}
\right.
\]

\[
y = tx \implies x^3 + t^3x^3 = 3atx^2 \implies x^3(1 + t^3) = 3atx^2 \implies x(1 + t^3) = 3at
\]

\[ x = \frac{3at}{1+t^3} \]

Et partant,

\[ y = t\left(\dfrac{3at}{1+t^3}\right) \]

\[ \Rightarrow y = \dfrac{3at^2}{1+t^3} \quad \text{c.q.f.d.} \]

Par ailleurs, on peut le souligner en passant, le folium de Descartes a pour équation polaire :

\[ \rho = \frac{3a \sin(\theta) \cos(\theta)}{\sin^3(\theta) + \cos^3(\theta)} \]

\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= \rho \cos(\theta) \\
y &= \rho \sin(\theta) \\
\end{aligned}
\right.
\]

\[
(x^3 + y^3 = 3axy) \Rightarrow \left( (\rho \cos(\theta))^3 + (\rho \sin(\theta))^3 = 3a\rho \cos(\theta) \rho \sin(\theta) \right)
\]
\[
\Rightarrow \rho^3 \cos^3(\theta) + \rho^3 \sin^3(\theta) = 3a\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta)
\]
\[
\Rightarrow \rho^3 (\cos^3(\theta) + \sin^3(\theta)) = 3a\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta)
\]

\[
\text{Finalement } \rho = \frac{3a \cos(\theta) \sin(\theta)}{\cos^3(\theta) + \sin^3(\theta)} \quad \text{cqfd}
\]

Qu’en est-il alors de la surface de révolution engendrée par cette courbe ?

2.2. Recherche de l’équation de la surface de révolution [Shifrin, (2016) p.37]

Etant donné le folium de Descartes ????et la droite (????) d’équations respectives :

\[
\Gamma \equiv
\left\{
\begin{aligned}
z &= 0, \\
x^3 + y^3 – 3axy &= 0
\end{aligned}
\right.
\quad \text{ou} \quad
\Gamma \equiv
\left\{
\begin{aligned}
z &= 0, \\
(x + y)(x^2 + y^2 – xy) – 3axy &= 0
\end{aligned}
\right.
\]

\[
\Delta \equiv
\left\{
\begin{aligned}
x &= z, \\
y &= z
\end{aligned}
\right.
\]

En considérant \((\Delta)\) comme axe de révolution, nous pouvons bien déterminer la surface de révolution que cette courbe engendre.

En effet, si on considère un point quelconque \( M \) de la courbe \( \Gamma \) (génératrice) et la perpendiculaire \( MA \) menée de ce point sur l’axe \( (\Delta) \), il va sans dire que le point \( M \) reste constamment dans son déplacement autour de l’axe, à la même distance de celui-ci et le point \( A \) reste fixe. Il en résulte que la courbe engendrée par \( M \) est une circonférence centrée sur l’axe et située dans un plan perpendiculaire à cette droite fixe.

Au fait, le cercle le plus général déterminé par les paramètres \( \lambda \) et \( \mu \), ayant la droite \( (\Delta) \) pour axe peut s’écrire:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^2 = \lambda \quad (1) \\
x + y + z = \mu \quad (2)
\end{array}
\right.
\]

Mais, puisque ce cercle doit rencontrer \( \Gamma \), alors \( z = 0 \) et on peut écrire :

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda \\
x + y = \mu
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda \\
(x + y)^2 = \mu^2
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda, \\
x^2 + y^2 + 2xy = \mu^2
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda, \\
\lambda + 2xy = \mu^2
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda, \\
2xy = \mu^2 – \lambda
\end{array}
\right.
\]
\[
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \lambda, \\
xy = \frac{(\mu^2 – \lambda)}{2}
\end{array}
\right.
\]

\[
\text{Ainsi, } \Gamma \text{ devient :}
\]

\[
\Gamma \equiv \left\{
\begin{array}{l}
z=0 \\
\lambda \left[ \mu – \frac{(\lambda^2 – \mu)}{2} \right] – \frac{3a(\lambda^2 – \mu)}{2} = 0
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \Gamma \equiv \left\{
\begin{array}{l}
z=0 \\
\lambda \left[\frac{2\mu – (\lambda^2 – \mu)}{2}\right] – \left[\frac{3a(\lambda^2 – \mu)}{2}\right] = 0
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \Gamma \equiv \left\{
\begin{array}{l}
z=0 \\
\lambda(2\mu – \lambda^2 + \mu) – 3a(\lambda^2 – \mu) = 0
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \Gamma \equiv \left\{
\begin{array}{l}
z=0 \\
3\lambda\rho – \rho^3 – 3a\rho^2 + 3 \tag{3}
\end{array}
\right.
\]

\[
\text{En éliminant } \lambda \text{ et } \rho \text{ entre (1), (2) et (3), on obtient:}
\]

\[
\begin{equation}
3(x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z) – (x + y + z)^3 – 3a(x + y + z)^2 + 3a(x^2 + y^2 + z^2) = 0 \tag{4}
\end{equation}
\]

En posant :

\[
\begin{align}
(i) & : 3(x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z) \\
(j) & : (x + y + z)^3 \\
(k) & : 3a(x + y + z)^2 \\
(l) & : 3a(x^2 + y^2 + z^2)
\end{align}
\]

On trouve :

\[
(i) \Rightarrow 3(x^3 + x^2y + x^2z + y^2x + y^3 + y^2z + z^2x + z^2y + z^3) \]

\[ = 3x^3 + 3x^2y + 3x^2z + 3y^2x + 3y^3 + 3y^2z + 3z^2x + 3z^2y + 3z^3
\]

Par ailleurs, en vertu de l’associativité de l’addition dans ℝ, on peut écrire:

\[
(j) = [(x + y) + z]^3
\]

\[
= (x + y)^3 + 3(x + y)^2z + 3(x + y)z^2 + z^3
\]

\[
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 3(x^2 + 2xy + y^2)z + (3x + 3y)z^2 + z^3
\]

\[
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + (3x^2 + 6xy + 3y^2)z + 3xz^2 + 3yz^2 + z^3
\]

\[
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 3x^2z + 3y^2z + 6xyz + 3xz^2 + 3yz^2 + z^3
\]

\[
(k) = 3a(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)
\]

\[
= 3ax^2 + 3ay^2 + 3az^2 + 6axy + 6axz + 6ayz
\]

\[
(l) = 3ax^2 + 3ay^2 + 3az^2
\]

De la sorte,

\[
(i) – (j) – (k) + (l) = 0
\]

\[
\iff 3x^3 + 3x^2y + 3x^2z + 3y^2x + 3y^3 + 3y^2z + 3z^2x + 3z^2y + 3z^3 – x^3
\]

\[
-3x^2y – 3xy^2 – y^3 – 3x^2z – 3y^2z – 6xyz – 3xz^2 – 3yz^2
\]

\[
-z^3 – 3ax^2 – 3ay^2 – 3az^2 – 6axy – 6axz – 6ayz
\]

\[
+ 3ax^2 + 3ay^2 + 3az^2 = 0
\]

\[
\iff 2x^3 + 2y^3 + 2z^3 – 6xyz – 6axy – 6axz – 6ayz = 0
\]

\[
\iff x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz – 3axy – 3axz – 3ayz = 0
\]

Finalement,

\[
\tag{5} x^3 + y^3 – 3axy + \left(z^3 – 3xyz – 3axz – 3ayz\right) = 0
\]

La relation (5) est l’équation cartésienne implicite de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes cherchée. Elle peut aussi s’écrire :

\[
\mathcal{S} = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^3 + y^3 – 3axy + \left(z^3 – 3xyz – 3axz – 3ayz\right) = 0 \right\}
\]

Ceci posé, il reste maintenant à déterminer les équations des différentes méridiennes de cette surface.

2.3. Courbes remarquables

2.3.1. Méridienne principale

Supposons que cette surface soit coupée par le plan XOZ, alors y=0 et par suite, l’équation S devient:

\[
\tag{6} \mathcal{L} \equiv x^3 + z^3 – 3axz = 0
\]

C’est l’équation de la méridienne principale de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes.

2.3.2. Méridienne secondaire

Supposons maintenant que notre surface soit coupée par le plan YOZ, alors x=0 et son équation de vient :

\[
\tag{7} \mathcal{L}_s \equiv y^3 + z^3 – 3ayz = 0
\]

2.3.3. Trace dans le plan de l’équateur

De même, supposons que la surface soit coupée par le plan XOY, alors z=0 et son équation devient:

\[
\tag{8} x^3 + y^3 – 3axy = 0
\]

Qui est le folium de Descartes lui-même.

Mais hélas, qu’en est-il de son plan tangent ?

2.3.4. Plan tangent à la surface

Soit \(f(x,y,z) = x^3 + y^3 – 3axy + \left(z^3 – 3xyz – 3axz – 3ayz\right) = 0,\)
la représentation cartésienne implicite de la surface. Au point 2.4 de cet article, nous avons mis en exergue la relation différentielle qui permet de déterminer l’équation du plan tangent à une surface au point \( m_0(x_0, y_0, z_0) \).

Soit \(P \equiv \frac{\partial f}{\partial x_0}(x – x_0) + \frac{\partial f}{\partial y_0}(y – y_0) + \frac{\partial f}{\partial z_0}(z – z_0) = 0\)

Calculons d’abord les dérivées partielles au point \( m_0(x_0, y_0, z_0) \).

De \(f(x,y,z)=x^3+y^3-3axy+z^3-3xyz-3axz-3ayz,\)on a successivement :

1°) \(\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 – 3ay – 3yz – 3az\)

\[
\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x_0} = 3x_0^2 – 3ay_0 – 3y_0z_0 – 3az_0
\]

Dans la suite de notre étude, pour des raisons d’ordre typographique

\[
\text{ cette relation qui donne } \frac{\partial f}{\partial x_0} \text{ sera désignée par } \alpha.
\]

2°) \(\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 – 3ax – 3xz – 3az\)

\[
\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y_0} = 3y_0^2 – 3ax_0 – 3x_0z_0 – 3az_0
\]

Dans la suite, pour les mêmes raisons, \(\frac{\partial f}{\partial y_0} \) sera désigné par \(\beta.\)

3°) \(\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 – 3ax – 3xy – 3ay\)

\[
\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial z_0} = 3z_0^2 – 3ax_0 – 3x_0y_0 – 3ay_0
\]

De la sorte, ayant posé \(\frac{\partial f}{\partial z_0}\) sera désigné par \(\gamma\), nous pouvons écrire :

\[
\begin{equation}
P \equiv \alpha(x-x_0) + \beta(y-y_0) + \gamma(z-z_0) = 0 \tag{9}
\end{equation}
\]

La relation (9) est l’équation du plan tangent à la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes au point \( m_0(x_0, y_0, z_0) \).

Bien plus, partant de ce qui vient d’être fait, il y a moyen de déterminer l’équation de la droite normale en ce point de la surface.

2.3.5. Normale à la surface

On le sait, l’équation générale de la normale à une surface au point \( m_0(x_0, y_0, z_0) \) est donnée par la relation :

\[
N \equiv \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x_0}} = \frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y_0}} = \frac{z-z_0}{\frac{\partial f}{\partial z_0}} \tag{10}
\]

La relation (10) représente l’équation de la normale à la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes.

Tout bien pesé, il nous reste à présenter la première forme quadratique fondamentale(ou la métrique) de cette surface. Pour ce faire, la paramétrisation de son équation cartésienne nous sera d’un précieux secours.

2.3.6. Equations paramétriques de la surface

Au point 3.1 de cet article, nous avons présenté les équations paramétriques du folium de Descartes que nous reprenons ci-dessous :

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \frac{3at}{1 + t^3} \\
y = \frac{3at^2}{1 + t^3}
\end{array}
\right.
\]

De façon analogue, nous pouvons trouver les équations paramétriques de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes.

De fait, soit

\(f(x, y, z) = x^3 + y^3 – 3axy + \left(z^3 – 3xyz – 3axz – 3ayz\right)\). l’équation implicite de cette surface. Nous le constatons bien, les trois premiers termes de cette
équation représentent l’équation du folium de Descartes \((x^3 + y^3 – 3axy = 0)\) dont les équations paramétriques sont rappelées ci-dessus.

De ce fait, il nous reste à trouver celles de la deuxième expression, soit

\[
z^3 – 3xyz – 3axz – 3ayz = 0
\]

Pour ce faire, exprimons ???? en fonction de ???? et ???? :

\[
z(z^2 – 3xy – 3ax – 3ay) = 0
\]

\[
\Rightarrow z^2 – 3xy – 3ax – 3ay = 0
\]

\[
\Rightarrow z^2 = 3xy + 3ax + 3ay
\]

Par suite,

\[
z = \sqrt{3xy + 3ax + 3ay}
\]

D’autre part, de

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \frac{3at}{1 + t^3} \\
y = \frac{3at^2}{1 + t^3}
\end{array}
\right.
\]

On peut écrire:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \frac{3at}{1 + t^3} \\
y = \frac{3at.t}{1 + t^3}
\end{array}
\right.
\]

Et en posant \(x=u\) et \(t=v \), on trouve \(y=uv\) et \( z = \sqrt{3xy + 3ax + 3ay}\)

soit, \( z = \sqrt{3u(uv + av + a)}\)

D’où les équations paramétriques de la surface de révolution engendrée

par le folium de Descartes peuvent s’écrire:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = u \\
y = uv \\
z = \sqrt{3u(uv + av + a)}
\end{array} \right.
\]

Partant, il va sans dire, son équation vectorielle ???? peut s’écrire:

\[
\vec{r}(u,v) = ue_1 + uv e_2 + \sqrt{3u(uv + av + a)}e_3 ,
\]

mieux encore :

\[
\vec{r}(u,v) = \left(u, uv, \sqrt{3u^2v + 3au + 3auv}\right)
\]

Ce faisant, il nous reste maintenant à déterminer la première forme quadratique fondamentale de cette surface.

3. Première forme quadratique fondamentale

Selon [T. Shifrin, (2016) p.37], la métrique ou la première forme quadratique fondamentale d’une surface est donnée par la relation:

\[
ds^2 = Edu^2 + 2Fdu\,dv + Gdv^2
\]

Où E,F et G sont appelés coefficients de la métrique et sont respectivement donnés par :

\[
E = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2
\]

\[
F = x_ux_v + y_uy_v + z_uz_v
\]

\[
G = x_v^2 + y_v^2 + z_v^2
\]

Soit dit en passant, toutes les propriétés d’une surface qui s’exprime seulement au moyen de coefficients de la première forme quadratique fondamentale et leurs dérivées, sont appelées propriétés intrinsèques de la surface. Et à ce propos Tshikuna, (2009) montre que : « Dans \( \mathbb{R}^3 \), la première forme quadratique fondamentale associée à une surface est définie positive ». Cela va de soi d’autant plus que le déterminant de ses coefficients est positif.

Revenons à notre étude. La surface S étant paramétriquement définie par :

\[
\mathcal{S} \equiv \left\{
\begin{array}{l}
x = uy \\
y = uv \\
z = \sqrt{3u(uv + av + a)}
\end{array}
\right.
\]

Il va sans dire, selon 2.1 que :

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x_u = u’ \\
y_u = (uv)’ \\
z_u = \left(\sqrt{3u(uv + av + a)}\right)’
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u = 1 \\
y_u = v \\
z_u = \frac{6vu + 3av + 3a}{2\sqrt{3u(vu + av + a)}}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u = 1 \\
y_u = v \\
z_u = \frac{3(2vu + av + a)}{2\sqrt{3u(vu + av + a)}}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_{u}^{2} = 1 \\
y_{u}^{2} = v^2 \\
z_{u}^{2} = [\frac{3(2vu + av + a)}{ 2\sqrt{3u(vu + av + a)}}]^2
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}
x_{u}^{2} = 1 \\
y_{u}^{2} = v^2 \\
z_{u}^{2} = \frac{9(2vu+av+a)^2 }{ 12(vu+av+a)}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}
x_{u}^{2} = 1 \\
y_{u}^{2} = v^2 \\
z_{u}^{2} = \frac{3(4v^2u^2 + a^2v^2 + a^2 + 4av^2u + 4avu + 2a^2v)}{4u(vu + av + a)}
\end{array}
\right.
\]

Or \(E = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2\)

Donc \(E = 1+v^2 + \frac{3(4v^2u^2 + a^2v^2 + a^2 + 4av^2u + 4avu + 2a^2v)}{4u(vu + av + a)} \)

Dans la suite de notre étude, pour des raisons d’ordre typographique, cette relation qui donne \( E \) sera désignée par \( \alpha’ \).

De façon analogue,

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_v = 0 \\
y_v = u \\
z_v = \frac{3u^2 + 3au}{2\sqrt{3u(vu + av + a)}}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_{v}^{2} = 0 \\
y_{v}^{2} = v^2 \\
z_{v}^{2} = \frac{(3u^2 + 3au)^2}{[2\sqrt{3u(vu + av + a)}]^2}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_{v}^{2} = 0 \\
y_{v}^{2} = v^2 \\
z_{v}^{2} = \frac{ 9u^4 + 9a^2u^2 + 18u^3}{12u(vu + av + a)}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_{v}^{2} = 0 \\
y_{v}^{2} = v^2 \\
z_{v}^{2} = \frac{ 9u(u^3 + a^2u + 2u^2)}{12u(vu + av + a)}
\end{array}
\right.
\]

\[
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_{v}^{2} = 0 \\
y_{v}^{2} = v^2 \\
z_{v}^{2} = \frac{ 3(u^3 + a^2u + 2u^2)}{4(vu + av + a)}
\end{array}
\right.
\]

Or \(
G = x_v^2 + y_v^2 + z_v^2
\)

Donc \(
G = u^2 + \frac{ 3(u^3 + a^2u + 2u^2)}{4(vu + av + a)}
\)

Dans la suite, pour les mêmes raisons, cette relation qui donne \( G \) sera désignée par \( \beta’ \).

Bien plus, partant de :

\(
\left\{
\begin{array}{l}
x_u = 1 \\
y_u = v \\
z_u = \frac{6vu + 3av + 3a}{2\sqrt{3u(vu + av + a)}}
\end{array}
\right.
\) et \(
\left\{
\begin{array}{l}
x_v = 0 \\
y_v = u \\
z_v = \frac{3u^2 + 3au}{2\sqrt{3u(vu + av + a)}}
\end{array}
\right.
\)

On peut écrire :

\(
\left\{
\begin{array}{l}
x_u x_v = 0 \\
y_u y_v = uv \\
z_u z_v = (\frac{6vu + 3av + 3a}{\sqrt{12u^2v + 12auv + 12au}}) (\frac{3u^2 + 3au}{\sqrt{12u^2v + 12auv + 12au}})
\end{array}
\right.
\)

\(
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u x_v = 0 \\
y_u y_v = uv \\
z_u z_v = \frac{3u^2(6uv + 3av + 3a) + 3au(6uv + 3av + 3a)}{12u^2v + 12auv + 12au}
\end{array}
\right.
\)

\(
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u x_v = 0 \\
y_u y_v = uv \\
z_u z_v = \frac{3u[u(6vu + 3av + 3a) + a(6uv + 3av + 3a)]}{12u(uv + av + a)}
\end{array}
\right.
\)

\(
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u x_v = 0 \\
y_u y_v = uv \\
z_u z_v = \frac{6vu^2 + 3auv + 3au + 6auv + 3a^2v + 3a^2}{4(uv + av + a)}
\end{array}
\right.
\)

\(
\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_u x_v = 0 \\
y_u y_v = uv \\
z_u z_v = \frac{6vu^2 + 9auv + 3au + 3a^2v + 3a^2}{4(uv + av + a)}
\end{array}
\right.
\)

Or \(F = x_{u}x_{v} + y_{u}y_{v} + z_{u}z_{v}\)

Donc \(F = uv + \frac{6vu^2 + 9auv + 3au + 3a^2v + 3a^2}{4(uv + av + a)}\)

Dans la suite de cette étude, pour des raisons d’ordre typographique, cette relation qui donne \( F \) sera désignée par \( \gamma’ \).

D’où : \(\tag{11} ds^2 = \alpha’ du^2 + \alpha\beta’ dudv + \beta’ dv^2\)

La relation (11) est la métrique ou la première forme quadratique fondamentale de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes.

Conclusion

Parmi les branches de la mathématique il y a la géométrie. Parmi les branches de la géométrie, il y a la géométrie différentielle. Parmi les matières traitées en géométrie différentielle, il y a l’étude de la surface qui peut être soit réglée, soit de révolution. (cf. Dictionnaire Universel, (1997)). C’est dans ce dernier cadre que s’est inscrit l’objet de notre étude.

Dans tout notre effort, l’unique souci majeur a été de déterminer la première forme quadratique fondamentale de la surface de révolution engendrée par le folium de Descartes. Chose annoncée, chose faite!

Néanmoins, nos lecteurs pourront bien le constater. Outre la métrique et d’autres résultats présentés, il reste bien d’autres éléments à entreprendre sur l’étude de cette surface. C’est par exemple le cas de : la détermination de sa deuxième forme quadratique fondamentale, sa courbure moyenne ainsi que son rayon, ses lignes géodésiques et asymptotiques …

Puisse cette énumération rester, au demeurant, moins qu’un mot d’ordre pédagogique, mais un ardent souhait d’un chercheur à ses pairs pour parachever, mieux surenchérir ce qui vient de commencer !

Bibliographie

Bekkar, M. & Cie, (1992), Surfaces minimales réglées dans l’espace de Heisemberg H3 Rend Sem. Mat.Univ. Pol Tariro, 50, 243-254.
Dictionnaire universel, (1997), Paris, 2ème édition Hachette.
Kamalenga Ngoyi, P. (2017), Surface de révolution engendrée par le folium de Descartes, Mémoire de licence, Inédit, ISP/Mbujimayi.
Renard, D. (2014), Introduction à la Géométrie Différentielle, P.U.F, Paris.
Renard, D. (2014), Introduction à la Géométrie Différentielle, MAT 452. Cours 1 : Sous-Variétés de \( \mathbb{R}^n \)
Schlichtkrull, H. (2011), Curves and Surfaces, Lecture Notes for Geometry 1. University of Copenhagen.
Shifrin T. (2016), Differential Geometry : A first Course in Curves and Surfaces, University of Georgia.
Tshikuna Matamba, J.P. (2009), Cours de géométrie différentielle première partie, ISP Kananga.
http://wikipedia.Serge.mehl.free.fr/anx/foliumdec.HTML.(19 Janvier 2017).